Шукати в цьому блозі

неділя, 26 червня 2011 р.

Задача Снеліуса-Потенота

Недавно на очі потрапив термін, який я вже підзабув, тому вирішив детально в ньому розібратись та освіжити пам'ять.
 
Задача Потенота (в англомовній літературі відома як three-point problem, Potenot problem, Snellius problem, Snellius-Pothenot problem), яку ще іноді називають задачею Снеліуса-Потенота, полягає у знаходженні координат невідомої точки P, якщо відомі координати трьох інших точок (А, В, С) та кути між лініями, які з’єднують невідому точку з відомими.

В реальності, ця задача полягає в тому, щоб знайти координати невідомої точки, вимірявши тільки кути на недоступні три точки з відомими координатами. Це один із варіантів оберненої засічки.

Розв’язок буде невизначеним, якщо всі чотири точки лежать на одному колі.

Перше аналітичне рішення було запропоноване в 1616 голандським астрономом та математиком Вільбрордом Снеліусом (Willebrord Snell van Royen або Snellius, 1580-1626), пізніше, через 75 років, в 1692 французький математик Лоран Потенот (Laurent Pothenot, 1660-1732) запропонував більш вдалий розв’язок цієї задачі, що і дало їй ім’я.


Є понад 100 варіантів розв’язку цієї задачі, серед яких і аналітичний метод, запропонований відомим українським вченим-геодезистом Андрієм Даниловичем Моторним (1891-1964).






Приведу один з розв’язків задачі (проілюстрований  у Вікіпедії).

Визначення рівнянь
Перше рівняння
Позначивши невідомий кут САР через х, а кут СВР через y ми отримаємо та використавши формулу суми кутів у чотирикутнику PACB. (Не забуваємо, що сума кутів в чотирикутнику рівна 360̊ , тобто  2π), отримаємо:
x + y = 2π − α − β − C

Кут С є відомим внутрішнім кутом в чотирикутнику. 

Під чотирикутником слід розуміти будь-яку фігуру, яка має чотири сторони і чотири вершини.


Типи чотирикутників (тетрагонів)  
 
Друге рівняння

Використавши теорему синусів для трикутників PAC та PBC, ми можемо виразити сторону PC двома різними способами:


На цьому етапі введемо допоміжний кут φ:


(Зауваження: потрібно мати на увазі, що можливе ділення на нуль, але беручи до уваги, що проблема є симетричною, то ми можемо, якщо один із даних кутів рівний нулю, ми можемо назвати його альфа, а інший, ненульовий кут – бета, помінявши таким чином роль А та В. Альтернативне наближення до проблеми нульового кута подане в алгоритмі нижче).
Виконавши підстановку, отримаємо рівняння:


Ми можемо використати дві відомих тригонометричних тотожності:

та



 
щоб отримати потрібне нам друге рівняння:



Тепер нам потрібно розв’язати ці два рівняння із двома змінними.
Алгоритм розв’язку наведено нижче:

Алгоритм розв’язку

Дано довжини двох сторін AC та BC, та три кути α, β та C.
- обчислюємо кут  φ


 
де atan2 – комп’ютерна функція, яку ще називають арктангенсом двох аргументів, який повертає арктангенс відношення двох заданих величин. Зауважте, що в Microsoft Excel аргументи функції є перевернутими, то ж правильним синтаксисом в Excel буде '=atan2(AC*sin(beta), BC*sin(alpha))'. Функція  atan2  правильно опрацьовує випадок, коли один із аргументів рівний нулю.
- обчислюємо K = 2π − α − β − C.

 - обчислюємо

 
- знаходимо x = (K + W) / 2 and y = (K − W) / 2.

- якщо | β | > | α | обчислюємо

в іншому випадку використаємо формулу 


 - шукаємо 

   
- шукаємо  

 
Якщо нам відомі координати точок А і С в деякій системі координат, то тоді ми зможемо знайти координати точки Р.

Також існують графічні методи розв’язку задачі Снеліуса-Потенота. В геодезії вони можуть використовуватися при мензульній зйомці.



Використані Інтернет-ресурси :


http://www.lp.edu.ua/fileadmin/IGD/KG_3_2_4.html

http://dic.academic.ru/dic.nsf/brokgauz_efron/82598/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0

Glossary of the mapping sciences - American Congress on Surveying and Mapping (http://books.google.com.ua/books?id=jPVxSDzVRP0C&pg=PA412&lpg=PA412&dq=Potenot+problem+geodesy&source=bl&ots=n58X6Aixli&sig=LH7lSpUffH4NVoiNOkWT53uikLc&hl=ru&ei=vD0HTpnGBY-g-watwaHTDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBoQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false)

http://veadug.ru/627-zadacha-potenota.html

Журнал «Квант» (Москва, 1973 р, №4) http://kvant.mccme.ru/1973/04/zadacha_potenota.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Snellius–Pothenot_problem

http://fr.wikipedia.org/wiki/Laurent_Pothenot

http://fr.wikipedia.org/wiki/Willebrord_Snell

http://mathworld.wolfram.com/Snellius-PothenotProblem.html

http://snellius-pothenot-problem.co.tv/

www.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/40.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral

http://en.wikipedia.org/wiki/Resection_(orientation)



Немає коментарів:

Дописати коментар