Задача Потенота (в англомовній літературі відома як three-point problem, Potenot problem, Snellius problem, Snellius-Pothenot problem), яку ще іноді називають задачею Снеліуса-Потенота, полягає у знаходженні координат невідомої точки P, якщо відомі координати трьох інших точок (А, В, С) та кути між лініями, які з’єднують невідому точку з відомими.
В реальності, ця задача полягає в тому, щоб знайти координати невідомої точки, вимірявши тільки кути на недоступні три точки з відомими координатами. Це один із варіантів оберненої засічки.
Розв’язок буде невизначеним, якщо всі чотири точки лежать на одному колі.
Перше аналітичне рішення було запропоноване в 1616 голандським астрономом та математиком Вільбрордом Снеліусом (Willebrord Snell van Royen або Snellius, 1580-1626), пізніше, через 75 років, в 1692 французький математик Лоран Потенот (Laurent Pothenot, 1660-1732) запропонував більш вдалий розв’язок цієї задачі, що і дало їй ім’я.
Є понад 100 варіантів розв’язку цієї задачі, серед яких і аналітичний метод, запропонований відомим українським вченим-геодезистом Андрієм Даниловичем Моторним (1891-1964).
Приведу один з розв’язків задачі (проілюстрований у Вікіпедії).
Визначення рівнянь
Перше рівняння
Позначивши невідомий кут САР через х, а кут СВР через y ми отримаємо та використавши формулу суми кутів у чотирикутнику PACB. (Не забуваємо, що сума кутів в чотирикутнику рівна 360̊ , тобто 2π), отримаємо:
x + y = 2π − α − β − C
Кут С є відомим внутрішнім кутом в чотирикутнику.
Під чотирикутником слід розуміти будь-яку фігуру, яка має чотири сторони і чотири вершини.
Типи чотирикутників (тетрагонів)
Друге рівняння
Використавши теорему синусів для трикутників PAC та PBC, ми можемо виразити сторону PC двома різними способами:
На цьому етапі введемо допоміжний кут φ:
(Зауваження: потрібно мати на увазі, що можливе ділення на нуль, але беручи до уваги, що проблема є симетричною, то ми можемо, якщо один із даних кутів рівний нулю, ми можемо назвати його альфа, а інший, ненульовий кут – бета, помінявши таким чином роль А та В. Альтернативне наближення до проблеми нульового кута подане в алгоритмі нижче).
Виконавши підстановку, отримаємо рівняння:
Ми можемо використати дві відомих тригонометричних тотожності:
та
щоб отримати потрібне нам друге рівняння:
Тепер нам потрібно розв’язати ці два рівняння із двома змінними.
Алгоритм розв’язку наведено нижче:
Алгоритм розв’язку
- обчислюємо кут φ
де atan2 – комп’ютерна функція, яку ще називають арктангенсом двох аргументів, який повертає арктангенс відношення двох заданих величин. Зауважте, що в Microsoft Excel аргументи функції є перевернутими, то ж правильним синтаксисом в Excel буде '=atan2(AC*sin(beta), BC*sin(alpha))'. Функція atan2 правильно опрацьовує випадок, коли один із аргументів рівний нулю.
- обчислюємо K = 2π − α − β − C.
- обчислюємо
- обчислюємо
- знаходимо x = (K + W) / 2 and y = (K − W) / 2.
- якщо | β | > | α | обчислюємо
в іншому випадку використаємо формулу
- шукаємо
- шукаємо
- якщо | β | > | α | обчислюємо
- шукаємо
Якщо нам відомі координати точок А і С в деякій системі координат, то тоді ми зможемо знайти координати точки Р.
Також існують графічні методи розв’язку задачі Снеліуса-Потенота. В геодезії вони можуть використовуватися при мензульній зйомці.
Використані Інтернет-ресурси :
Немає коментарів:
Дописати коментар